Wieża hanoi
Albo
Kostka rubika
Nieskończoność jest policzalna.
Moderator: moderatorzy
Nieskończoność jest policzalna.
każdy user twgo forum wie że choruje to znaczy ma "wgląd" czyli jest zdrowy.
Każdy leczący się jest zdrowy.
A że bieda nuda głód trudności życiowe to inna sprawa
Każdy leczący się jest zdrowy.
A że bieda nuda głód trudności życiowe to inna sprawa
Re: Nieskończoność jest policzalna.
Zależy jakiej mocy nieskończoność. Są kolejne stopnie nieskończoności od alef 0 czyli zbiór liczb naturalnych (1, 2, 3, ...) do continuum. Czasem "większa" nieskończoność okazuje się być podzbiorem mniejszej, zamiast być nad nim i tylko zawierać mniejszą. To znaczy, że na przykład liczb rzeczywistych, łącznie z liczbami naturalnymi, ujemnymi, ułamkami, liczbami niewymiernymi, wszystkim co się mieści od 0 do 1 lub od miliona do miliona i jeden, może być mniej niż samych "pełnych" liczb naturalnych, jeżeli tylko weźmiemy ich zbiór nieskończony, to znaczy bez największej liczby. Powinno być więcej. Mogą też być te zbiory równoliczne? Jak to możliwe?
Cantor tak się nad tym głowił, że się rozchorował. Podobno miał zaostrzenia choroby właśnie w czasie, kiedy liczył te zbiory, liczby kardynalne, alefy.
A może był i tak chory a to, że zajął się matematyką nic by mu nie zaszkodziło.
"Tajemnica Alefów"
Amir Aczel
"Pod koniec XIX wieku w zakładzie dla obłąkanych powoli dogorywał pewien genialny matematyk. Dzięki rozwinięciu szeregu błyskotliwych koncepcji dokonał on czegoś, co nie udało się nikomu wcześniej - matematycznie okiełznał nieskończoność. Matematykiem tym był Georg Cantor. Amir D. Aczel opowiada o jego życiu, teoriach, pracach, które wpłynęły na sposób postrzegania przez nas świata i zapewne jeszcze wiele w nim zmienią".
https://lubimyczytac.pl/ksiazka/64903/tajemnica-alefow
"Pierwsze prace Cantora dotyczyły teorii liczb. Do stworzenia teorii mnogości doprowadziły go prowadzone przez niego badania dotyczące szeregów trygonometrycznych. Cantor zetknął się w nich z nieskończonymi zbiorami punktów i zwrócił uwagę na ich paradoksalne własności. Zauważył między innymi, że między każdym odcinkiem leżącym na prostej, a tą prostą istnieje wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość. Zagadnienia te doprowadziły Cantora do wprowadzenia pojęć równoliczności i mocy zbioru (liczby kardynalnej) – obecnie podstawowych terminów w teorii mnogości. Stosunkowo później Cantor podał następującą definicję zbioru:
Zbiorem jest spojenie w całość określonych rozróżnialnych podmiotów naszej poglądowości czy myśli, które nazywamy elementami danego zbioru.
Obecnie ta definicja nie ma zastosowania – przyjmuje się, że zbiór jest pojęciem pierwotnym.
Kilkanaście lat życia Cantor poświęcił rozwijaniu teorii mnogości, a w tym koncepcji liczb pozaskończonych. Odkrył, że zbiory nieskończone mogą być różnej wielkości – w szczególności odkrył pojęcie przeliczalności i pokazał za pomocą rozumowania przekątniowego, że zbiór liczb naturalnych nie jest równoliczny ze zbiorem liczb rzeczywistych.
Cantor przez długi czas starał się udowodnić hipotezę continuum (jak się okazało w latach 60. XX w. – jego wysiłki nie mogły przynieść zadowalającego go rezultatu). W ostatnich latach swojej pracy naukowej odkrył pewne paradoksy w teorii mnogości. Długie lata cierpiał na ciężkie depresje (parokrotnie był z tego powodu hospitalizowany). Pod koniec życia zajmował się mistycyzmem – rozwijał koncepcję Absolutnej Nieskończoności, którą utożsamiał z Bogiem. Z powodu choroby i niemożności uniknięcia paradoksów zaprzestał publikowania prac naukowych.
Początkowo większość współczesnych Cantorowi matematyków odnosiła się do jego badań bardzo krytycznie (zwłaszcza Leopold Kronecker). Obecnie jednak jego wyniki są nie tylko w pełni akceptowane, ale uznawane za przełomowe w historii matematyki. Dzięki nim mogły rozwinąć się między innymi takie jej dziedziny jak topologia i teoria funkcji rzeczywistych".
https://pl.wikipedia.org/wiki/Georg_Cantor
Topologia:
"Pytania postawione przez topologię uznano za doniosłe. W 2000 roku hipotezę Poincarégo w topologii algebraicznej umieszczono na liście siedmiu problemów milenijnych, a rozwiązanie jej przez Grigorija Perelmana nagrodzono dodatkowo (odrzuconym przez laureata) Medalem Fieldsa[a]. Już wcześniej odznaczano tym medalem badania nad tą hipotezą, m.in. przez Stephena Smale’a, Michaela Freedmana i Williama Thurstona. Wybitne postępy w topologii nagradzano też innymi najwyższymi zaszczytami dostępnymi matematykom jak Nagroda Abela i Medal Copleya. Topologia wywiera też bezpośredni wpływ na rozmaite kierunki fizyki teoretycznej – teorię cząstek elementarnych (np. teorię strun), informatykę kwantową[9], biofizykę molekularną czy fizykę materii skondensowanej; przykładowo była wprost wspomniana w uzasadnieniu Nagrody Nobla w dziedzinie fizyki za 2016 rok. Pojęcia i wyniki topologiczne mają też znaczenie dla kosmologii – otwartym pozostaje pytanie o kształt Wszechświata; rozważano modele o różnych, czasem nietrywialnych ułożeniach czasoprzestrzeni[10]".
https://pl.wikipedia.org/wiki/Topologia
Teoria funkcji rzeczywistych:
"Funkcja rzeczywista – funkcja, której przeciwdziedzina jest podzbiorem zbioru liczb rzeczywistych[1]; innymi słowy jest to funkcja o wartościach rzeczywistych: f:X→Y, Y⊆ℝ. Czasem znaczenie tego terminu jest:
węższe; wymaga się niekiedy, aby także dziedzina funkcji była podzbiorem zbioru liczb rzeczywistych (X⊆ℝ)[2][3];
szersze; za przeciwdziedzinę uznaje się rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych, tj. dopuszcza się wartości nieskończone (∞, ±∞)[4].
Teorię funkcji rzeczywistych zalicza się do analizy matematycznej[potrzebny przypis], choć funkcje rzeczywiste rozumiane szeroko pojawiają się też w innych dyscyplinach:
ciągi liczb rzeczywistych bada między innymi rachunek różnicowy, wykraczający poza analizę do matematyki dyskretnej;
rzeczywiste wielomiany to klasyczny temat badań algebry, a formy wieloliniowe i kwadratowe są badane przez algebrę liniową;
metryka czy wymiar stanowią pojęcia topologiczne, a ta pierwsza jest też używana w matematyce dyskretnej, np. teorii grafów;
pojęcia jak długość krzywej, pole powierzchni czy objętość dotyczą nie tylko analizy, ale i geometrii, tak jak miara kąta;
formalnie funkcją rzeczywistą jest też moc zbioru skończonego – centralne pojęcie kombinatoryki;
przykładem funkcji rzeczywistej jest prawdopodobieństwo.
Fundamentem fizyki i całej nauki empirycznej są wielkości mierzalne określone funkcjami rzeczywistymi – nie tylko te geometryczne (odległość, długość, pole powierzchni, objętość, miara kąta), ale też masa, temperatura czy ładunek elektryczny".
https://pl.wikipedia.org/wiki/Funkcja_rzeczywista
Cantor tak się nad tym głowił, że się rozchorował. Podobno miał zaostrzenia choroby właśnie w czasie, kiedy liczył te zbiory, liczby kardynalne, alefy.
A może był i tak chory a to, że zajął się matematyką nic by mu nie zaszkodziło.
"Tajemnica Alefów"
Amir Aczel
"Pod koniec XIX wieku w zakładzie dla obłąkanych powoli dogorywał pewien genialny matematyk. Dzięki rozwinięciu szeregu błyskotliwych koncepcji dokonał on czegoś, co nie udało się nikomu wcześniej - matematycznie okiełznał nieskończoność. Matematykiem tym był Georg Cantor. Amir D. Aczel opowiada o jego życiu, teoriach, pracach, które wpłynęły na sposób postrzegania przez nas świata i zapewne jeszcze wiele w nim zmienią".
https://lubimyczytac.pl/ksiazka/64903/tajemnica-alefow
"Pierwsze prace Cantora dotyczyły teorii liczb. Do stworzenia teorii mnogości doprowadziły go prowadzone przez niego badania dotyczące szeregów trygonometrycznych. Cantor zetknął się w nich z nieskończonymi zbiorami punktów i zwrócił uwagę na ich paradoksalne własności. Zauważył między innymi, że między każdym odcinkiem leżącym na prostej, a tą prostą istnieje wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość. Zagadnienia te doprowadziły Cantora do wprowadzenia pojęć równoliczności i mocy zbioru (liczby kardynalnej) – obecnie podstawowych terminów w teorii mnogości. Stosunkowo później Cantor podał następującą definicję zbioru:
Zbiorem jest spojenie w całość określonych rozróżnialnych podmiotów naszej poglądowości czy myśli, które nazywamy elementami danego zbioru.
Obecnie ta definicja nie ma zastosowania – przyjmuje się, że zbiór jest pojęciem pierwotnym.
Kilkanaście lat życia Cantor poświęcił rozwijaniu teorii mnogości, a w tym koncepcji liczb pozaskończonych. Odkrył, że zbiory nieskończone mogą być różnej wielkości – w szczególności odkrył pojęcie przeliczalności i pokazał za pomocą rozumowania przekątniowego, że zbiór liczb naturalnych nie jest równoliczny ze zbiorem liczb rzeczywistych.
Cantor przez długi czas starał się udowodnić hipotezę continuum (jak się okazało w latach 60. XX w. – jego wysiłki nie mogły przynieść zadowalającego go rezultatu). W ostatnich latach swojej pracy naukowej odkrył pewne paradoksy w teorii mnogości. Długie lata cierpiał na ciężkie depresje (parokrotnie był z tego powodu hospitalizowany). Pod koniec życia zajmował się mistycyzmem – rozwijał koncepcję Absolutnej Nieskończoności, którą utożsamiał z Bogiem. Z powodu choroby i niemożności uniknięcia paradoksów zaprzestał publikowania prac naukowych.
Początkowo większość współczesnych Cantorowi matematyków odnosiła się do jego badań bardzo krytycznie (zwłaszcza Leopold Kronecker). Obecnie jednak jego wyniki są nie tylko w pełni akceptowane, ale uznawane za przełomowe w historii matematyki. Dzięki nim mogły rozwinąć się między innymi takie jej dziedziny jak topologia i teoria funkcji rzeczywistych".
https://pl.wikipedia.org/wiki/Georg_Cantor
Topologia:
"Pytania postawione przez topologię uznano za doniosłe. W 2000 roku hipotezę Poincarégo w topologii algebraicznej umieszczono na liście siedmiu problemów milenijnych, a rozwiązanie jej przez Grigorija Perelmana nagrodzono dodatkowo (odrzuconym przez laureata) Medalem Fieldsa[a]. Już wcześniej odznaczano tym medalem badania nad tą hipotezą, m.in. przez Stephena Smale’a, Michaela Freedmana i Williama Thurstona. Wybitne postępy w topologii nagradzano też innymi najwyższymi zaszczytami dostępnymi matematykom jak Nagroda Abela i Medal Copleya. Topologia wywiera też bezpośredni wpływ na rozmaite kierunki fizyki teoretycznej – teorię cząstek elementarnych (np. teorię strun), informatykę kwantową[9], biofizykę molekularną czy fizykę materii skondensowanej; przykładowo była wprost wspomniana w uzasadnieniu Nagrody Nobla w dziedzinie fizyki za 2016 rok. Pojęcia i wyniki topologiczne mają też znaczenie dla kosmologii – otwartym pozostaje pytanie o kształt Wszechświata; rozważano modele o różnych, czasem nietrywialnych ułożeniach czasoprzestrzeni[10]".
https://pl.wikipedia.org/wiki/Topologia
Teoria funkcji rzeczywistych:
"Funkcja rzeczywista – funkcja, której przeciwdziedzina jest podzbiorem zbioru liczb rzeczywistych[1]; innymi słowy jest to funkcja o wartościach rzeczywistych: f:X→Y, Y⊆ℝ. Czasem znaczenie tego terminu jest:
węższe; wymaga się niekiedy, aby także dziedzina funkcji była podzbiorem zbioru liczb rzeczywistych (X⊆ℝ)[2][3];
szersze; za przeciwdziedzinę uznaje się rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych, tj. dopuszcza się wartości nieskończone (∞, ±∞)[4].
Teorię funkcji rzeczywistych zalicza się do analizy matematycznej[potrzebny przypis], choć funkcje rzeczywiste rozumiane szeroko pojawiają się też w innych dyscyplinach:
ciągi liczb rzeczywistych bada między innymi rachunek różnicowy, wykraczający poza analizę do matematyki dyskretnej;
rzeczywiste wielomiany to klasyczny temat badań algebry, a formy wieloliniowe i kwadratowe są badane przez algebrę liniową;
metryka czy wymiar stanowią pojęcia topologiczne, a ta pierwsza jest też używana w matematyce dyskretnej, np. teorii grafów;
pojęcia jak długość krzywej, pole powierzchni czy objętość dotyczą nie tylko analizy, ale i geometrii, tak jak miara kąta;
formalnie funkcją rzeczywistą jest też moc zbioru skończonego – centralne pojęcie kombinatoryki;
przykładem funkcji rzeczywistej jest prawdopodobieństwo.
Fundamentem fizyki i całej nauki empirycznej są wielkości mierzalne określone funkcjami rzeczywistymi – nie tylko te geometryczne (odległość, długość, pole powierzchni, objętość, miara kąta), ale też masa, temperatura czy ładunek elektryczny".
https://pl.wikipedia.org/wiki/Funkcja_rzeczywista
Re: Nieskończoność jest policzalna.
Po Cantorze nastąpił Kurt Gödel.
"Ważnym rezultatem, który pozwolił podważyć program Hilberta, było pokazanie, że pojęcie prawdziwości i pojęcie dowodliwości nie są koekstensywne. Mogą bowiem istnieć takie prawdy matematyczne, które, przynajmniej w danym systemie, nie mają dowodu. Czym wobec tego jest prawda w matematyce i jak jest poznawalna? Czy prawdy w matematyce są odkrywane w sposób intuicyjny, a dowody służą „rozjaśnieniu” pojęć matematycznych? Na czym miałaby polegać owa matematyczna intuicja? Jeszcze bardziej ogólnie: czy można wiedzieć, że dane zdanie jest prawdziwe, nie mając, przynajmniej na daną chwilę, odpowiedniego uzasadnienia jego prawdziwości w postaci dowodu?"
https://www.polskieradio.pl/23/266/Arty ... G%c3%b6del
Żeby udowodnić prawdę w obrębie jakiegoś systemu, trzeba wyjść ponad ten system, a wtedy okazuje się, że był on niezupełny, skoro możliwe jest coś ponad nim. I tak w nieskończoność.
"Ważnym rezultatem, który pozwolił podważyć program Hilberta, było pokazanie, że pojęcie prawdziwości i pojęcie dowodliwości nie są koekstensywne. Mogą bowiem istnieć takie prawdy matematyczne, które, przynajmniej w danym systemie, nie mają dowodu. Czym wobec tego jest prawda w matematyce i jak jest poznawalna? Czy prawdy w matematyce są odkrywane w sposób intuicyjny, a dowody służą „rozjaśnieniu” pojęć matematycznych? Na czym miałaby polegać owa matematyczna intuicja? Jeszcze bardziej ogólnie: czy można wiedzieć, że dane zdanie jest prawdziwe, nie mając, przynajmniej na daną chwilę, odpowiedniego uzasadnienia jego prawdziwości w postaci dowodu?"
https://www.polskieradio.pl/23/266/Arty ... G%c3%b6del
Żeby udowodnić prawdę w obrębie jakiegoś systemu, trzeba wyjść ponad ten system, a wtedy okazuje się, że był on niezupełny, skoro możliwe jest coś ponad nim. I tak w nieskończoność.
Re: Nieskończoność jest policzalna.
Nieskończoność - bardzo ciekawy temat.
Sporo ostatnio myślę o liczbach czy nieskończoności.
Okazuje się, że zbiór liczb naturalnych można podzielić na nieskończenie wiele nieskończonych i rozłącznych podzbiorów! Czy to nie jest wspaniałe?
Samych liczb pierwszych jest nieskończenie wiele. Każda liczba pierwsza ma nieskończenie wiele potęg naturalnych. A jest też nieskończenie wiele liczb naturalnych, które nie są ani liczbami pierwszymi, ani potęgami naturalnymi jakiejś liczby naturalnej.
Czy z nieskończoności liczb (zwłaszcza naturalnych) wynika coś bardzo ważnego dla teologii i ontologii?
Sporo ostatnio myślę o liczbach czy nieskończoności.
Okazuje się, że zbiór liczb naturalnych można podzielić na nieskończenie wiele nieskończonych i rozłącznych podzbiorów! Czy to nie jest wspaniałe?
Samych liczb pierwszych jest nieskończenie wiele. Każda liczba pierwsza ma nieskończenie wiele potęg naturalnych. A jest też nieskończenie wiele liczb naturalnych, które nie są ani liczbami pierwszymi, ani potęgami naturalnymi jakiejś liczby naturalnej.
Czy z nieskończoności liczb (zwłaszcza naturalnych) wynika coś bardzo ważnego dla teologii i ontologii?
Re: Nieskończoność jest policzalna.
Dla teologii moim zdaniem niewiele, bo nie wiadomo co to miałoby być coś takiego jak Bóg i czy w rzeczywistości dało radę w ogóle zaistnieć coś na tym poziomie, a dla ontologii pewnie tak. Warto zastanowić się czy pojęcia matematyczne biorą się z tego, że rzeczy na świecie są przeliczalne, mierzalne czy może pojęcia te pochodzą z naszego umysłu czy języka a tylko staramy się znaleźć ich odpowiedniki w materii.
Re: Nieskończoność jest policzalna.
Okazuje się, że matematyka też nie jest taka jednoznaczna i ścisła. Uczeni męczyli się, doznawali załamań nerwowych, wgryzanie się w rzeczywistość tak, żeby odkryć prawdę, odsiać błędy, złudzenia, to ciężkie wyzwanie.
"Kurt Gödel (wym. niem. [ˈkʊʁt ˈɡøːdəl], ur. 28 kwietnia 1906 w Brnie, zm. 14 stycznia 1978 w Princeton[1]) – austriacko-amerykański naukowiec: matematyk, fizyk teoretyczny i filozof, specjalizujący się w logice matematycznej i teorii mnogości, zajmujący się również teorią względności i filozofią matematyki. Laureat Nagrody Einsteina (1951) i amerykańskiego National Medal of Science (1974).
Rezultaty Gödla zalicza się do największych osiągnięć logiki matematycznej i podstaw matematyki w historii[potrzebny przypis]. Należą do nich twierdzenia o niezupełności i niesprzeczności każdej aksjomatycznej teorii dedukcyjnej, która obejmuje arytmetykę liczb naturalnych. Gödel zajmował się również ogólną teorią względności – między innymi wyprowadził rozwiązania równań Einsteina dopuszczające cofanie się w czasie. W tamtym okresie uważano to za poważną wadę teorii. Einstein twierdził później, że wiedział o istnieniu takich rozwiązań od samego początku, ale ukrywał to, gdyż słusznie uważał, że inni fizycy nie zaakceptują teorii pozwalającej na podróże wstecz w czasie[potrzebny przypis].
W latach 90. powstała międzynarodowa Nagroda Gödla przyznawana informatykom teoretycznym.
(...)
Szkołę w Brnie Gödel ukończył w roku 1923 wstępując na Uniwersytet Wiedeński. Tu doktoryzował się w roku 1929 u Hansa Hahna, matematyka austriackiego, jednego z twórców analizy funkcjonalnej (zob. twierdzenie Hahna-Banacha) i zarazem aktywnego członka Koła Wiedeńskiego propagującego pozytywizm logiczny. W swej pracy doktorskiej Gödel udowodnił twierdzenie o zupełności (pełności) rachunku predykatów pierwszego rzędu[2].
W roku 1931 opublikował pracę „Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme. I.”, w której sformułował twierdzenie o niezupełności. Praca ta została przyjęta jako praca habilitacyjna (zaakceptowaną przez Hansa Hahna) i od marca 1933 roku Gödel objął w Uniwersytecie Wiedeńskim stanowisko Privatdozent.
W roku 1934 Gödel przybył do Princeton z cyklem wykładów „O zdaniach nierozstrzygalnych w sformalizowanych teoriach matematycznych”. Wykłady spotkały się z uznaniem, lecz z nieznanych powodów Gödel doznał załamania nerwowego i powrócił do Europy w depresji, wymagającej kilkumiesięcznego leczenia psychiatrycznego w sanatorium.
Niezależnie od problemów zdrowotnych Gödel funkcjonował jako uczony, uzyskując w roku 1935 rezultaty w badaniach nad pewnikiem wyboru. Po zamordowaniu profesora Uniwersytetu Wiedeńskiego Moritza Schlicka (który zainteresował Gödla logiką) przez chorego psychicznie studenta Johanna Nelböcka, uczony doznał kolejnego załamania nerwowego.
Jesienią roku 1938 Gödel ożenił się z Adele Porkert, wyznania katolickiego, z którą pozostawał w związku już od 11 lat. Nie pobierali się, bowiem rodzice uczonego (szczególnie ojciec) byli temu związkowi przeciwni; Adele była rozwódką starszą od niego o sześć lat. Nie była to zresztą pierwsza partnerka Gödla, wzbudzająca sprzeciw rodziców: poprzednia była starsza od niego o lat 10.
(...)
Twierdzenie o niezupełności
Gödel jest najbardziej znany z udowodnienia słynnego twierdzenia o niezupełności.
W roku 1931 opublikował pracę „Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme. I.”, w której wykazał, że w aksjomatycznej niesprzecznej teorii matematycznej, zawierającej pojęcie liczb naturalnych, da się sformułować takie zdanie, którego w ramach tej teorii nie da się ani udowodnić, ani obalić. Zakończyło to definitywnie wieloletnie próby zaksjomatyzowania całej matematyki, gdyż z twierdzenia Gödla wynika wprost, że jest to zadanie niewykonalne. Z twierdzenia tego wynika też, że matematyka nie jest i nie może być nauką zamkniętą i zakończoną, jak niektórzy do tego czasu sądzili.
W szczególności wynika z niego również, że żadnego komputera nie da się zaprogramować tak, by zdołał on rozstrzygnąć wszystkie problemy matematyczne i jest to stwierdzenie o kluczowym znaczeniu dla informatyki. Co więcej, istnieją takie konkretne problemy, których nie da się rozwiązać na żadnym komputerze[5].
Ogólna teoria względności
W 1949 roku Gödel zaprezentował istnienie paradoksalnych rozwiązań równań pola grawitacyjnego OTW. Przedstawiały one model kosmologiczny, cechujący się m.in. następującymi właściwościami:
czasoprzestrzeń tego modelu jest jednorodna (stacjonarna i jednorodna przestrzennie);
model jest wypełniony nieoddziałującą materią pyłową;
materia ta wykonuje rotację względem lokalnie inercjalnego układu odniesienia (który Gödel nazywa compass of inertia) ze stałą prędkością kątową;
w czasoprzestrzeni istnieją zamknięte krzywe czasopodobne (reprezentujące historie obserwatorów lub cząstek o niezerowej masie spoczynkowej).
Rozwiązania wywołały wątpliwości co do poprawności OTW u samego Einsteina (gdyż dopuszczały możliwość podróży w czasie). Nazywane są metryką Gödla[6]".
https://pl.wikipedia.org/wiki/Kurt_G%C3%B6del
"Twierdzenie Gödla i jego interpretacje filozoficzne. Od mechanicyzmu do postmodernizmu".
Stanisław Krajewski
"Celem monografii jest przedstawienie twierdzenia Gödla, jego różnych wersji i konsekwencji filozoficznych, a także błędów i nadużyć popełnianych przy jego stosowaniu lub cytowaniu. Oprócz tego przedstawiona jest sylwetka autora twierdzenia – jego opinie o konsekwencjach tego słynnego odkrycia, inne dokonania i poglądy".
https://lubimyczytac.pl/ksiazka/197573/ ... modernizmu
"Gödel. Życie i logika".
John Casti, Werner DePauli
"Kim był ten wspaniały matematyk, którego wielu uznaje za największego logika od czasów Arystotelesa? Kim był człowiek, który wstrząsnął podwalinami dwudziestowiecznej nauki, pod koniec życia zaś usiłował za pomocą praw logiki dowieść istnienia Boga? Jakie znaczenia ma dla nas dziś zasada niekompletności, jeden z najważniejszych wyników współczesnej logiki? Jakie ma konsekwencje w informatyce, logice, teorii złożoności?"
https://lubimyczytac.pl/ksiazka/111490/ ... e-i-logika
"O nadużywaniu twierdzenia Godla w sporach filozoficznych"
"Hipoteza continuum i pewnik wyboru nie są oczywiście jedynymi ważnymi niezależnymi zdaniami w teorii mnogości. Od czasu stworzenia przez Cohena metody forcingu udowodniono niezależność wielu zdań, głównie dotyczących kombinatoryki nieskończonej czy arytmetyki liczb kardynalnych (por. np. [Kunen 1980]). Dowodzeniem niezależności pewnych zdań i relatywnej niesprzeczności systemów aksjomatycznych zajmuje się obszerny dział teorii mnogości. Jednak przykłady zdań niezależnych (od ZFC) można znaleźć także w innych działach matematyki, na przykład w teorii przestrzeni Hilberta, szeroko stosowanej, chociażby w mechanice kwantowej czy np. w teorii aproksymacji(10). Znany jest przykład "konkretnego" zdania matematycznego dotyczącego norm określonych na pewnych algebrach Banacha (por. [Dales Woodin 1987]). Friedman znalazł zdania dotyczące funkcji borelowskich określonych na kostce Hilberta o wartościach w odcinku [0,1], które są niezależne od ZFC. Co więcej, zdania te nie dadzą się nawet rozstrzygnąć poprzez przyjęcie aksjomatu konstruowalności, wymagając silnych założeń dotyczących liczb Mahlo(11) (por. [Friedman 1981]). Podobna sytuacja ma miejsce w przypadku pewnych zdań kombinatorycznych dotyczących obiektów skończonych (por. [Friedman 1986]). One także wymagają przyjęcia bardzo silnych założeń teoriomnogościowych dotyczących dużych liczb kardynalnych. W naszych rozważaniach dotyczących filozoficznych implikacji istnienia zdań niezależnych musimy brać te wyniki pod uwagę, zwłaszcza w kontekście sformułowanego na początku artykułu zagadnienia A. W szczególności musimy zastanowić się nad miejscem tych wyników w matematyce stosowanej".
https://opoka.org.pl/biblioteka/F/FL/ograniczenia_godla
"Kurt Gödel (wym. niem. [ˈkʊʁt ˈɡøːdəl], ur. 28 kwietnia 1906 w Brnie, zm. 14 stycznia 1978 w Princeton[1]) – austriacko-amerykański naukowiec: matematyk, fizyk teoretyczny i filozof, specjalizujący się w logice matematycznej i teorii mnogości, zajmujący się również teorią względności i filozofią matematyki. Laureat Nagrody Einsteina (1951) i amerykańskiego National Medal of Science (1974).
Rezultaty Gödla zalicza się do największych osiągnięć logiki matematycznej i podstaw matematyki w historii[potrzebny przypis]. Należą do nich twierdzenia o niezupełności i niesprzeczności każdej aksjomatycznej teorii dedukcyjnej, która obejmuje arytmetykę liczb naturalnych. Gödel zajmował się również ogólną teorią względności – między innymi wyprowadził rozwiązania równań Einsteina dopuszczające cofanie się w czasie. W tamtym okresie uważano to za poważną wadę teorii. Einstein twierdził później, że wiedział o istnieniu takich rozwiązań od samego początku, ale ukrywał to, gdyż słusznie uważał, że inni fizycy nie zaakceptują teorii pozwalającej na podróże wstecz w czasie[potrzebny przypis].
W latach 90. powstała międzynarodowa Nagroda Gödla przyznawana informatykom teoretycznym.
(...)
Szkołę w Brnie Gödel ukończył w roku 1923 wstępując na Uniwersytet Wiedeński. Tu doktoryzował się w roku 1929 u Hansa Hahna, matematyka austriackiego, jednego z twórców analizy funkcjonalnej (zob. twierdzenie Hahna-Banacha) i zarazem aktywnego członka Koła Wiedeńskiego propagującego pozytywizm logiczny. W swej pracy doktorskiej Gödel udowodnił twierdzenie o zupełności (pełności) rachunku predykatów pierwszego rzędu[2].
W roku 1931 opublikował pracę „Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme. I.”, w której sformułował twierdzenie o niezupełności. Praca ta została przyjęta jako praca habilitacyjna (zaakceptowaną przez Hansa Hahna) i od marca 1933 roku Gödel objął w Uniwersytecie Wiedeńskim stanowisko Privatdozent.
W roku 1934 Gödel przybył do Princeton z cyklem wykładów „O zdaniach nierozstrzygalnych w sformalizowanych teoriach matematycznych”. Wykłady spotkały się z uznaniem, lecz z nieznanych powodów Gödel doznał załamania nerwowego i powrócił do Europy w depresji, wymagającej kilkumiesięcznego leczenia psychiatrycznego w sanatorium.
Niezależnie od problemów zdrowotnych Gödel funkcjonował jako uczony, uzyskując w roku 1935 rezultaty w badaniach nad pewnikiem wyboru. Po zamordowaniu profesora Uniwersytetu Wiedeńskiego Moritza Schlicka (który zainteresował Gödla logiką) przez chorego psychicznie studenta Johanna Nelböcka, uczony doznał kolejnego załamania nerwowego.
Jesienią roku 1938 Gödel ożenił się z Adele Porkert, wyznania katolickiego, z którą pozostawał w związku już od 11 lat. Nie pobierali się, bowiem rodzice uczonego (szczególnie ojciec) byli temu związkowi przeciwni; Adele była rozwódką starszą od niego o sześć lat. Nie była to zresztą pierwsza partnerka Gödla, wzbudzająca sprzeciw rodziców: poprzednia była starsza od niego o lat 10.
(...)
Twierdzenie o niezupełności
Gödel jest najbardziej znany z udowodnienia słynnego twierdzenia o niezupełności.
W roku 1931 opublikował pracę „Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme. I.”, w której wykazał, że w aksjomatycznej niesprzecznej teorii matematycznej, zawierającej pojęcie liczb naturalnych, da się sformułować takie zdanie, którego w ramach tej teorii nie da się ani udowodnić, ani obalić. Zakończyło to definitywnie wieloletnie próby zaksjomatyzowania całej matematyki, gdyż z twierdzenia Gödla wynika wprost, że jest to zadanie niewykonalne. Z twierdzenia tego wynika też, że matematyka nie jest i nie może być nauką zamkniętą i zakończoną, jak niektórzy do tego czasu sądzili.
W szczególności wynika z niego również, że żadnego komputera nie da się zaprogramować tak, by zdołał on rozstrzygnąć wszystkie problemy matematyczne i jest to stwierdzenie o kluczowym znaczeniu dla informatyki. Co więcej, istnieją takie konkretne problemy, których nie da się rozwiązać na żadnym komputerze[5].
Ogólna teoria względności
W 1949 roku Gödel zaprezentował istnienie paradoksalnych rozwiązań równań pola grawitacyjnego OTW. Przedstawiały one model kosmologiczny, cechujący się m.in. następującymi właściwościami:
czasoprzestrzeń tego modelu jest jednorodna (stacjonarna i jednorodna przestrzennie);
model jest wypełniony nieoddziałującą materią pyłową;
materia ta wykonuje rotację względem lokalnie inercjalnego układu odniesienia (który Gödel nazywa compass of inertia) ze stałą prędkością kątową;
w czasoprzestrzeni istnieją zamknięte krzywe czasopodobne (reprezentujące historie obserwatorów lub cząstek o niezerowej masie spoczynkowej).
Rozwiązania wywołały wątpliwości co do poprawności OTW u samego Einsteina (gdyż dopuszczały możliwość podróży w czasie). Nazywane są metryką Gödla[6]".
https://pl.wikipedia.org/wiki/Kurt_G%C3%B6del
"Twierdzenie Gödla i jego interpretacje filozoficzne. Od mechanicyzmu do postmodernizmu".
Stanisław Krajewski
"Celem monografii jest przedstawienie twierdzenia Gödla, jego różnych wersji i konsekwencji filozoficznych, a także błędów i nadużyć popełnianych przy jego stosowaniu lub cytowaniu. Oprócz tego przedstawiona jest sylwetka autora twierdzenia – jego opinie o konsekwencjach tego słynnego odkrycia, inne dokonania i poglądy".
https://lubimyczytac.pl/ksiazka/197573/ ... modernizmu
"Gödel. Życie i logika".
John Casti, Werner DePauli
"Kim był ten wspaniały matematyk, którego wielu uznaje za największego logika od czasów Arystotelesa? Kim był człowiek, który wstrząsnął podwalinami dwudziestowiecznej nauki, pod koniec życia zaś usiłował za pomocą praw logiki dowieść istnienia Boga? Jakie znaczenia ma dla nas dziś zasada niekompletności, jeden z najważniejszych wyników współczesnej logiki? Jakie ma konsekwencje w informatyce, logice, teorii złożoności?"
https://lubimyczytac.pl/ksiazka/111490/ ... e-i-logika
"O nadużywaniu twierdzenia Godla w sporach filozoficznych"
"Hipoteza continuum i pewnik wyboru nie są oczywiście jedynymi ważnymi niezależnymi zdaniami w teorii mnogości. Od czasu stworzenia przez Cohena metody forcingu udowodniono niezależność wielu zdań, głównie dotyczących kombinatoryki nieskończonej czy arytmetyki liczb kardynalnych (por. np. [Kunen 1980]). Dowodzeniem niezależności pewnych zdań i relatywnej niesprzeczności systemów aksjomatycznych zajmuje się obszerny dział teorii mnogości. Jednak przykłady zdań niezależnych (od ZFC) można znaleźć także w innych działach matematyki, na przykład w teorii przestrzeni Hilberta, szeroko stosowanej, chociażby w mechanice kwantowej czy np. w teorii aproksymacji(10). Znany jest przykład "konkretnego" zdania matematycznego dotyczącego norm określonych na pewnych algebrach Banacha (por. [Dales Woodin 1987]). Friedman znalazł zdania dotyczące funkcji borelowskich określonych na kostce Hilberta o wartościach w odcinku [0,1], które są niezależne od ZFC. Co więcej, zdania te nie dadzą się nawet rozstrzygnąć poprzez przyjęcie aksjomatu konstruowalności, wymagając silnych założeń dotyczących liczb Mahlo(11) (por. [Friedman 1981]). Podobna sytuacja ma miejsce w przypadku pewnych zdań kombinatorycznych dotyczących obiektów skończonych (por. [Friedman 1986]). One także wymagają przyjęcia bardzo silnych założeń teoriomnogościowych dotyczących dużych liczb kardynalnych. W naszych rozważaniach dotyczących filozoficznych implikacji istnienia zdań niezależnych musimy brać te wyniki pod uwagę, zwłaszcza w kontekście sformułowanego na początku artykułu zagadnienia A. W szczególności musimy zastanowić się nad miejscem tych wyników w matematyce stosowanej".
https://opoka.org.pl/biblioteka/F/FL/ograniczenia_godla
Re: Nieskończoność jest policzalna.
"Paradoks w samym środku matematyki: twierdzenie Gödla o niezupełności - Marcus du Sautoy"
"W krainie matematyki"
Twierdzenie Gödla
Czy można udowodnić, że to nieprawda, że 2+2=5? Prawda i dowód to dwie różne rzeczy. Zresztą sama koncepcja prawdy w matematyce nie jest taka prosta. Przyglądamy się Twierdzeniu Gödla, według którego istnieją „nierozstrzygalne” rzeczy, których nie możemy ani udowodnić, ani obalić.
https://www.arte.tv/pl/videos/097454-00 ... atematyki/
"W krainie matematyki"
Twierdzenie Gödla
Czy można udowodnić, że to nieprawda, że 2+2=5? Prawda i dowód to dwie różne rzeczy. Zresztą sama koncepcja prawdy w matematyce nie jest taka prosta. Przyglądamy się Twierdzeniu Gödla, według którego istnieją „nierozstrzygalne” rzeczy, których nie możemy ani udowodnić, ani obalić.
https://www.arte.tv/pl/videos/097454-00 ... atematyki/
Re: Nieskończoność jest policzalna.
Bóg jest ponad wszelką matematyką i jest wspanialszy od wszelkich bytów matematycznych, od wszelkich matematycznych czy stworzonych nieskończoności.
Dlaczego jest nieskończenie wiele liczb naturalnych? Pojawia się pytanie: "Czy Stwórca wie, jaka jest największa liczba naturalna, jaka może matematycznie istnieć?" albo może "wyskoczyć" jeszcze gorsze pytanie: "czy wszechwiedzący Absolut może nie wiedzieć, jaka jest największa liczba naturalna, na której istnienie pozwalają reguły matematyki?" Nie chcę tu kogokolwiek gorszyć!!!
Dlaczego jest nieskończenie wiele liczb naturalnych? Pojawia się pytanie: "Czy Stwórca wie, jaka jest największa liczba naturalna, jaka może matematycznie istnieć?" albo może "wyskoczyć" jeszcze gorsze pytanie: "czy wszechwiedzący Absolut może nie wiedzieć, jaka jest największa liczba naturalna, na której istnienie pozwalają reguły matematyki?" Nie chcę tu kogokolwiek gorszyć!!!
Re: Nieskończoność jest policzalna.
Zarówno George Cantor jak i Kurt Godel pod koniec swojego życia próbowali zajmować się matematycznie Bogiem zamiast realnym światem, ale obawiam się, że nie wyszło im to na zdrowie.
W moim odczuciu wtedy dopiero zagmatwali się i stracili jasność czy nawet prawidłowość swoich odkryć i teorii naukowych. Byty metafizyczne bywają złośliwe i rozwalają równania matematyczne.
Re: Nieskończoność jest policzalna.
Bóg jest PONAD i POZA matematyką. Matematyka nie jest wszechwiedząca i wszechmogąca. Matematyka nie potrafi niczego i nikogo stworzyć. Bóg jest bardziej niezwykły niż matematyczne nieskończoności.
Re: Nieskończoność jest policzalna.
To niech Bozia policzy ile dzisiaj stało się wypadków, przypadków i śmierci na naszej planecie a później przemnoży to przez zbiór wszystkich planet we wszystkich galaktykach w Kosmosie, na których istnieje samoświadoma, żywa czująca materia.
W zbiorze liczb naturalnych nie ma największej liczby, bo zawsze może być liczba większa na przykład o 1.
Zbiór nieskończonych liczb naturalnych to alef zero, najmniejsza nieskończona liczba kardynalna, moc zbioru liczb naturalnych.
Następne nieskończone liczba kardynalne to na przykład liczba z taką własnością, że istnieje nieskończenie wiele liczb nieskończonych mniejszych od niej, albo liczba z własnością, że istnieje nieprzeliczalnie wiele nieskończonych liczb kardynalnych mniejszych od niej.
https://pl.wikipedia.org/wiki/Skala_alef%C3%B3w
https://pl.wikipedia.org/wiki/Arytmetyk ... rdynalnych
Continuum można zrozumieć w ten sposób:
"W roku 1874 Georg Cantor udowodnił, że nie istnieje funkcja zbioru liczb naturalnych na zbiór liczb rzeczywistych[2], co oznacza, że zbiór liczb rzeczywistych jest liczniejszy niż zbiór liczb naturalnych; w związku z tym nie jest on przeliczalny. Popularnym sposobem dowodzenia tego faktu jest pochodząca również od Cantora[3] metoda przekątniowa".
https://pl.wikipedia.org/wiki/Continuum ... o%C5%9Bci)
Nieprzeliczalność różni się od nieskończoności. Nieskończony zbiór liczb naturalnych jest przeliczalny, da się przedstawić dowolną, nawet największą liczbę w postaci na przykład n+1
Nieprzeliczalny jest zbiór liczb rzeczywistych.
Potęgując liczbę naturalną 2 do wykładnika będącego liczebnością zbioru liczb naturalnych otrzymamy zbiór o większej mocy niż nieskończoność liczb naturalnych. Nieprzeliczalny.
Okazuje się, że zbiór liczb rzeczywistych jest też równoliczny ze zbiorem liczb rzeczywistych pomiędzy 0 a 1. Takie drobiazgi a moc zbioru większa od nieskończonej wielkości liczb naturalnych. Jednocześnie liczb rzeczywistych większych od 1 jest też dosyć wiele. Nic dziwnego, że matematycy nie wytrzymywali.
W zbiorze liczb naturalnych nie ma największej liczby, bo zawsze może być liczba większa na przykład o 1.
Zbiór nieskończonych liczb naturalnych to alef zero, najmniejsza nieskończona liczba kardynalna, moc zbioru liczb naturalnych.
Następne nieskończone liczba kardynalne to na przykład liczba z taką własnością, że istnieje nieskończenie wiele liczb nieskończonych mniejszych od niej, albo liczba z własnością, że istnieje nieprzeliczalnie wiele nieskończonych liczb kardynalnych mniejszych od niej.
https://pl.wikipedia.org/wiki/Skala_alef%C3%B3w
https://pl.wikipedia.org/wiki/Arytmetyk ... rdynalnych
Continuum można zrozumieć w ten sposób:
"W roku 1874 Georg Cantor udowodnił, że nie istnieje funkcja zbioru liczb naturalnych na zbiór liczb rzeczywistych[2], co oznacza, że zbiór liczb rzeczywistych jest liczniejszy niż zbiór liczb naturalnych; w związku z tym nie jest on przeliczalny. Popularnym sposobem dowodzenia tego faktu jest pochodząca również od Cantora[3] metoda przekątniowa".
https://pl.wikipedia.org/wiki/Continuum ... o%C5%9Bci)
Nieprzeliczalność różni się od nieskończoności. Nieskończony zbiór liczb naturalnych jest przeliczalny, da się przedstawić dowolną, nawet największą liczbę w postaci na przykład n+1
Nieprzeliczalny jest zbiór liczb rzeczywistych.
Potęgując liczbę naturalną 2 do wykładnika będącego liczebnością zbioru liczb naturalnych otrzymamy zbiór o większej mocy niż nieskończoność liczb naturalnych. Nieprzeliczalny.
Okazuje się, że zbiór liczb rzeczywistych jest też równoliczny ze zbiorem liczb rzeczywistych pomiędzy 0 a 1. Takie drobiazgi a moc zbioru większa od nieskończonej wielkości liczb naturalnych. Jednocześnie liczb rzeczywistych większych od 1 jest też dosyć wiele. Nic dziwnego, że matematycy nie wytrzymywali.
Re: Nieskończoność jest policzalna.
Wierzę, że nie ma życia (nawet niekoniecznie inteligentnego) nigdzie indziej w Kosmosie jak tylko na Ziemi. Wierzę, że jest tylko jedna cywilizacja istot duchowo-cielesnych we Wszechbycie. Nie wierzę we wszechświaty równoległe. Wszechświaty równoległe byłyby brzydkie, wbrew porządkowi i ładowi, ich istnienie byłoby po prostu czymś złym. Bóg wie wszystko, nie tylko zna całą matematykę, ale i wie wszystko o Stworzeniu, nie tylko o tym, co jest, było i mogłoby być, ale i (co najbardziej niepojęte) w pełni zna przyszłość.
Czy nieprzeliczalność istnieje fizycznie? Czy przestrzeń i czas, jakie istnieją w świecie fizycznym, składają się z nieprzeliczalnie nieskończenie wielu czy przynajmniej przeliczalnie nieskończenie wielu punktów? Pierwiastek kwadratowy z dwóch albo z trzech czy liczba pi są niewymierne i mają nieskończenie wiele cyfr po przecinku - czy fizycznie istnieją takie figury, jak trójkąt równoboczny, kwadrat czy koło (dla ich opisu potrzebne są liczby niewymierne)?
Czy nieprzeliczalność istnieje fizycznie? Czy przestrzeń i czas, jakie istnieją w świecie fizycznym, składają się z nieprzeliczalnie nieskończenie wielu czy przynajmniej przeliczalnie nieskończenie wielu punktów? Pierwiastek kwadratowy z dwóch albo z trzech czy liczba pi są niewymierne i mają nieskończenie wiele cyfr po przecinku - czy fizycznie istnieją takie figury, jak trójkąt równoboczny, kwadrat czy koło (dla ich opisu potrzebne są liczby niewymierne)?
Re: Nieskończoność jest policzalna.
No właśnie. Podobnie istnieją na przykład zbiory nieprzeliczalne wykonując pewne działania na zbiorach przeliczalnych, potęgując 2 do zbioru liczb naturalnych.
Widocznie natrafiamy na takie dziwne właściwości rzeczywistości jak w przypadku mierzenia przekątnej kwadratu o boku 1 czy obwodu koła do jego średnicy.
A może to wszystko wina pojęć liczbowych, to znaczy właściwości jakie im przypisujemy. Przecież każda liczba ma zupełnie inne wady, na przykład jedynka różni się od zera w zupełnie inny sposób niż od dwójki. W dwóch jeszcze coś się mieści, w jedynce ujemnej już trzeba wyciągać liczby zespolone z jej pierwiastka a z zera co? Nawet podzielić się przez nie nie da.
Jedynka w ułamkach może oznaczać pełnię, całość, komplet, że już dalej nic nie ma i nie potrzeba, a tu wyskakuje nieskończoność jeszcze.
Może błędnie kształtujemy te twory - liczby, może powinny być bardziej tak jakby jednorodne, spokojniejsze i praktyczne?
Czy te pojęcia: jeden, zero, trzydzieści itp., istnieją naprawdę i coś znaczą głębszego, czy są to jakieś ograniczone nasze twory na tle rzeczywistości?
Re: Nieskończoność jest policzalna.
Bóg jest jeden, dokładnie jeden. Mogłaby pojawić się myśl: "przecież jeden to liczba, liczba jeden to coś oczywistego, a Bóg jest przecież transcendentny i niepojęty dla wszelkiego stworzenia".
Re: Nieskończoność jest policzalna.
Według mnie to tylko liczby. Istoty może być tyle ile sama zechce, nawet może być jej cała nieskończoność
"Mesjasz, Jezus syn Maryi, jest tylko posłańcem Boga; i Jego Słowem, które złożył Marii; i Duchem, pochodzącym od Niego. Wierzcie więc w Boga i Jego posłańców i nie mówcie: Trzy!” (Koran 4:171)".
Re: Nieskończoność jest policzalna.
Boska nieskończoność jest absolutna, nadmatematyczna i niepowiększalna (nie może być nikogo i niczego lepszego niż Bóg). Bóg to byt wspanialszy od wszelkiej matematycznej nieskończoności.
Re: Nieskończoność jest policzalna.
Był ontologiczny dowód istnienia Boga, ale to bardziej przykład logicznego, formalnego rozumowania, taka struktura. Co to znaczy boskość?
Nie wiadomo na jakim poziomie zatrzymała się rzeczywistość, kiedy powstawała i na jakim zatrzymuje, kiedy powstaje. Może do wzbudzenia Boga jeszcze nie dosięgła. A jeżeli nie jest to możliwe w ogóle? Wtedy od potencjalnego Boga dzieli najwyższy możliwy i istniejący byt w rzeczywistości nieskończona jeszcze przepaść i droga w górę. Wtedy najwyższy możliwy byt w rzeczywistości jest naprawdę tylko najmniejszym bytem, prawie niczym w porównaniu do Boga i wcale nie Absolutem.
"Dowód ontologiczny Gödla jest formalnym argumentem logiki modalnej z matematyk Kurt Gödel (1906-1978) na istnienie Boga . Idea argumentacji sięga Anzelma z Canterbury (1033-1109) i została podjęta przez Gottfrieda Leibniza (1646-1716)".
https://pl.frwiki.wiki/wiki/Preuve_onto ... _possibles
Re: Nieskończoność jest policzalna.
Dlaczego liczb naturalnych jest nieskończenie wiele? Czy nieskończoność o mocy alef jeden czy tym bardziej co najmniej alef dwa istnieje "fizycznie"? Dusza ludzka jest nieśmiertelna, więc będzie istnieć w nieskończoność, a więc "fizycznie" (czyli duchowo, "odczuwalnie") jakaś nieskończoność istnieje w dziele Stworzenia.
Matematycznie na jednowymiarowym odcinku jest alef jeden, a nie tylko alef zero zerowymiarowych punktów. Jest nieprzeliczalnie nieskończenie wiele punktów na matematycznym odcinku, mimo tego, że ma tylko jeden wymiar i jest "nieskończenie cienki". W przestrzeni dwuwymiarowej wielokąt matematycznie też ma nieprzeliczalnie wiele jednowymiarowych punktów, (chyba) nawet ma nieprzeliczalnie nieskończenie wiele nieskończenie cienkich jednowymiarowych odcinków "w sobie".
Matematycznie na jednowymiarowym odcinku jest alef jeden, a nie tylko alef zero zerowymiarowych punktów. Jest nieprzeliczalnie nieskończenie wiele punktów na matematycznym odcinku, mimo tego, że ma tylko jeden wymiar i jest "nieskończenie cienki". W przestrzeni dwuwymiarowej wielokąt matematycznie też ma nieprzeliczalnie wiele jednowymiarowych punktów, (chyba) nawet ma nieprzeliczalnie nieskończenie wiele nieskończenie cienkich jednowymiarowych odcinków "w sobie".
Re: Nieskończoność jest policzalna.
Liczb naturalnych jest nieskończenie wiele przez jedną dziwną liczbę - jedynkę. Zawsze ma taką samą wartość czy w kilku czy w milionie czy dodawana do nieskończenie ogromnej liczby. Najdziwniejsze jednak jest to, że jednocześnie coraz mniej zmienia w wielkości liczby. Tak jakby sama malała w rachunku, a jednak nie maleje, dodana do nieskończoności nadal potrafi ją zmienić.kotek pisze: ↑czw gru 08, 2022 11:43 pm Dlaczego liczb naturalnych jest nieskończenie wiele? Czy nieskończoność o mocy alef jeden czy tym bardziej co najmniej alef dwa istnieje "fizycznie"? Dusza ludzka jest nieśmiertelna, więc będzie istnieć w nieskończoność, a więc "fizycznie" (czyli duchowo, "odczuwalnie") jakaś nieskończoność istnieje w dziele Stworzenia.
Zależy też od fizycznej skali, szybkości życia i wielkości. Jeżeli dusza żyje z prędkością 15 miliardów lat na sekundę, to żyje subiektywnie bardzo krótko, mignie, przeżyje wszystko w Kosmosie i zniknie, jeżeli rozciągniemy na przykład najkrótszy czas fizyczny, czas Plancka w jakąś nieskończoność podzielimy na jeszcze krótsze zdarzenia, to długie istnienie przed nami.
Można też skracać lub wydłużać czas fizycznego istnienia zwiększając lub zmniejszając świat. Już teraz Kosmos na najdalszych obszarach czasoprzestrzeni rozszerza się tak szybko i jest tak odległy, że nawet z prędkością światła nigdy nie dogonim. Tamte obszary już są zbyt wielkie i za daleko poza zasięgiem obserwacji.
Re: Nieskończoność jest policzalna.
Samych liczb pierwszych jest nieskończenie wiele. Czytałem, że wiedziano o tym już w starożytności.
Każda większa od jednego, nieważnie jak niewyobrażalnie wielka, liczba naturalna ma nieskończenie wiele wielokrotności oraz nieskończenie wiele potęg naturalnych.
Każda większa od jednego, nieważnie jak niewyobrażalnie wielka, liczba naturalna ma nieskończenie wiele wielokrotności oraz nieskończenie wiele potęg naturalnych.
